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独自の平方根関数を書く

整数の最も正確な平方根を見つけるための独自の関数をどのように作成しますか?

グーグルで調べたところ、 this元のリンク からアーカイブ)が見つかりましたが、最初は完全に取得できませんでした。

(実際のルートに)最も近い整数またはフロートとして平方根を仮定します。

69
Pale Blue Dot

以下は、N> 0の場合にfloor(sqrt(N))を計算します。

x = 2^ceil(numbits(N)/2)
loop:
    y = floor((x + floor(N/x))/2)
    if y >= x
        return x
    x = y

これは、Crandall&Pomerance、「Prime Numbers:A Computational Perspective」に記載されているニュートンの方法のバージョンです。このバージョンを使用する理由は、自分が何をしているのかを知っている人が、平方根のフロアに正確に収束することを証明しているためです。また、高速です(さらに高速なアルゴリズムを構築することも可能ですが、それを正しく行うことははるかに複雑です)。適切に実装されたバイナリ検索は、非常に小さいNの場合は高速になりますが、ルックアップテーブルを使用することもできます。

に丸める 最も近い 整数、上記のアルゴリズムを使用してt = floor(sqrt(4N))を計算します。 tの最下位ビットが設定されている場合、x =(t + 1)/ 2を選択します。それ以外の場合は、t/2を選択します。これはタイで切り上げられることに注意してください。剰余がゼロ以外かどうか(つまり、t ^ 2 == 4Nかどうか)を調べることで、切り捨てる(または偶数に丸める)こともできます。

浮動小数点演算を使用する必要がないことに注意してください。実際、そうすべきではありません。このアルゴリズムは、完全に整数を使用して実装する必要があります(特に、floor()関数は、通常の整数除算を使用することを示すだけです)。

80

ニーズに応じて、単純な分割統治戦略を使用できます。他の方法のようにfastとして収束することはありませんが、初心者にとっては理解しやすいかもしれません。さらに、O(log n)アルゴリズム(各反復で探索空間を半分にする)であるため、32ビットの浮動小数点数の最悪のケースは32反復です。

62.104の平方根が必要だとしましょう。 0とその中間の値を選択し、2乗します。正方形が数値よりも大きい場合、中間点よりも小さい数値に集中する必要があります。低すぎる場合は、高い方に集中してください。

実際の数学では、検索空間を永久に2つに分割し続けることができます(合理的な平方根がない場合)。実際には、コンピューターは最終的に精度が不足し、近似値が得られます。次のCプログラムはそのポイントを示しています。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main (int argc, char *argv[]) {
    float val, low, high, mid, oldmid, midsqr;
    int step = 0;

    // Get argument, force to non-negative.

    if (argc < 2) {
        printf ("Usage: sqrt <number>\n");
        return 1;
    }
    val = fabs (atof (argv[1]));

    // Set initial bounds and print heading.

    low = 0;
    high = mid = val;
    oldmid = -1;

    printf ("%4s  %10s  %10s  %10s  %10s  %10s    %s\n",
        "Step", "Number", "Low", "High", "Mid", "Square", "Result");

    // Keep going until accurate enough.

    while (fabs(oldmid - mid) >= 0.00001) {
        oldmid = mid;

        // Get midpoint and see if we need lower or higher.

        mid = (high + low) / 2;
        midsqr = mid * mid;
        printf ("%4d  %10.4f  %10.4f  %10.4f  %10.4f  %10.4f  ",
            ++step, val, low, high, mid, midsqr);
        if (mid * mid > val) {
            high = mid;
            printf ("- too high\n");
        } else {
            low = mid;
            printf ("- too low\n");
        }
    }

    // Desired accuracy reached, print it.

    printf ("sqrt(%.4f) = %.4f\n", val, mid);
    return 0;
}

ここにいくつかの実行がありますので、うまくいけばそれがどのように機能するかを知ることができます。 77の場合:

pax> sqrt 77
Step      Number         Low        High         Mid      Square    Result
   1     77.0000      0.0000     77.0000     38.5000   1482.2500  - too high
   2     77.0000      0.0000     38.5000     19.2500    370.5625  - too high
   3     77.0000      0.0000     19.2500      9.6250     92.6406  - too high
   4     77.0000      0.0000      9.6250      4.8125     23.1602  - too low
   5     77.0000      4.8125      9.6250      7.2188     52.1104  - too low
   6     77.0000      7.2188      9.6250      8.4219     70.9280  - too low
   7     77.0000      8.4219      9.6250      9.0234     81.4224  - too high
   8     77.0000      8.4219      9.0234      8.7227     76.0847  - too low
   9     77.0000      8.7227      9.0234      8.8730     78.7310  - too high
  10     77.0000      8.7227      8.8730      8.7979     77.4022  - too high
  11     77.0000      8.7227      8.7979      8.7603     76.7421  - too low
  12     77.0000      8.7603      8.7979      8.7791     77.0718  - too high
  13     77.0000      8.7603      8.7791      8.7697     76.9068  - too low
  14     77.0000      8.7697      8.7791      8.7744     76.9893  - too low
  15     77.0000      8.7744      8.7791      8.7767     77.0305  - too high
  16     77.0000      8.7744      8.7767      8.7755     77.0099  - too high
  17     77.0000      8.7744      8.7755      8.7749     76.9996  - too low
  18     77.0000      8.7749      8.7755      8.7752     77.0047  - too high
  19     77.0000      8.7749      8.7752      8.7751     77.0022  - too high
  20     77.0000      8.7749      8.7751      8.7750     77.0009  - too high
  21     77.0000      8.7749      8.7750      8.7750     77.0002  - too high
  22     77.0000      8.7749      8.7750      8.7750     76.9999  - too low
  23     77.0000      8.7750      8.7750      8.7750     77.0000  - too low
sqrt(77.0000) = 8.7750

62.104の場合:

pax> sqrt 62.104
Step      Number         Low        High         Mid      Square    Result
   1     62.1040      0.0000     62.1040     31.0520    964.2267  - too high
   2     62.1040      0.0000     31.0520     15.5260    241.0567  - too high
   3     62.1040      0.0000     15.5260      7.7630     60.2642  - too low
   4     62.1040      7.7630     15.5260     11.6445    135.5944  - too high
   5     62.1040      7.7630     11.6445      9.7037     94.1628  - too high
   6     62.1040      7.7630      9.7037      8.7334     76.2718  - too high
   7     62.1040      7.7630      8.7334      8.2482     68.0326  - too high
   8     62.1040      7.7630      8.2482      8.0056     64.0895  - too high
   9     62.1040      7.7630      8.0056      7.8843     62.1621  - too high
  10     62.1040      7.7630      7.8843      7.8236     61.2095  - too low
  11     62.1040      7.8236      7.8843      7.8540     61.6849  - too low
  12     62.1040      7.8540      7.8843      7.8691     61.9233  - too low
  13     62.1040      7.8691      7.8843      7.8767     62.0426  - too low
  14     62.1040      7.8767      7.8843      7.8805     62.1024  - too low
  15     62.1040      7.8805      7.8843      7.8824     62.1323  - too high
  16     62.1040      7.8805      7.8824      7.8815     62.1173  - too high
  17     62.1040      7.8805      7.8815      7.8810     62.1098  - too high
  18     62.1040      7.8805      7.8810      7.8807     62.1061  - too high
  19     62.1040      7.8805      7.8807      7.8806     62.1042  - too high
  20     62.1040      7.8805      7.8806      7.8806     62.1033  - too low
  21     62.1040      7.8806      7.8806      7.8806     62.1038  - too low
  22     62.1040      7.8806      7.8806      7.8806     62.1040  - too high
  23     62.1040      7.8806      7.8806      7.8806     62.1039  - too high
sqrt(62.1040) = 7.8806

49の場合:

pax> sqrt 49
Step      Number         Low        High         Mid      Square    Result
   1     49.0000      0.0000     49.0000     24.5000    600.2500  - too high
   2     49.0000      0.0000     24.5000     12.2500    150.0625  - too high
   3     49.0000      0.0000     12.2500      6.1250     37.5156  - too low
   4     49.0000      6.1250     12.2500      9.1875     84.4102  - too high
   5     49.0000      6.1250      9.1875      7.6562     58.6182  - too high
   6     49.0000      6.1250      7.6562      6.8906     47.4807  - too low
   7     49.0000      6.8906      7.6562      7.2734     52.9029  - too high
   8     49.0000      6.8906      7.2734      7.0820     50.1552  - too high
   9     49.0000      6.8906      7.0820      6.9863     48.8088  - too low
  10     49.0000      6.9863      7.0820      7.0342     49.4797  - too high
  11     49.0000      6.9863      7.0342      7.0103     49.1437  - too high
  12     49.0000      6.9863      7.0103      6.9983     48.9761  - too low
  13     49.0000      6.9983      7.0103      7.0043     49.0598  - too high
  14     49.0000      6.9983      7.0043      7.0013     49.0179  - too high
  15     49.0000      6.9983      7.0013      6.9998     48.9970  - too low
  16     49.0000      6.9998      7.0013      7.0005     49.0075  - too high
  17     49.0000      6.9998      7.0005      7.0002     49.0022  - too high
  18     49.0000      6.9998      7.0002      7.0000     48.9996  - too low
  19     49.0000      7.0000      7.0002      7.0001     49.0009  - too high
  20     49.0000      7.0000      7.0001      7.0000     49.0003  - too high
  21     49.0000      7.0000      7.0000      7.0000     49.0000  - too low
  22     49.0000      7.0000      7.0000      7.0000     49.0001  - too high
  23     49.0000      7.0000      7.0000      7.0000     49.0000  - too high
sqrt(49.0000) = 7.0000
37
paxdiablo

Xの平方根を計算するための単純な(ただし非常に高速ではない)メソッド:

squareroot(x)
    if x<0 then Error
    a = 1
    b = x
    while (abs(a-b)>ErrorMargin) 
        a = (a+b)/2
        b = x/a
    endwhile
    return a;

例:squareroot(70000)

    a       b
    1   70000
35001       2
17502       4
 8753       8
 4381      16
 2199      32
 1116      63
  590     119
  355     197
  276     254
  265     264

ご覧のとおり、平方根の上限と下限を定義し、サイズが許容範囲になるまで境界を狭くします。

より効率的な方法がありますが、これはプロセスを示しており、理解しやすいものです。

整数を使用する場合は、無限ループがある場合、Errormarginを1に設定してください。

16
Toon Krijthe

逆平方根1/sqrt(x)を計算する非常に興味深い方法を指摘させてください。または、次の投稿を読んでください。

http://betterexplained.com/articles/understanding-quakes-fast-inverse-square-root/

PS:私はあなたが平方根だけを望むことを知っているが、地震の優雅さが私の側のすべての抵抗を克服した:)

ところで、上記の記事はどこか退屈なニュートン・ラフソン近似についても述べています。

13

もちろんおおよそです。これが、浮動小数点数を使用した数学の仕組みです。

とにかく、標準的な方法は Newtonのメソッド です。これは、テイラーのシリーズを使用するのとほぼ同じで、すぐに思い浮かぶもう1つの方法です。

9
jrockway

Pythonで任意の精度で平方根を計算する

#!/usr/bin/env python
import decimal

def sqrt(n):
    assert n > 0
    with decimal.localcontext() as ctx:
        ctx.prec += 2 # increase precision to minimize round off error
        x, prior = decimal.Decimal(n), None
        while x != prior: 
            prior = x
            x = (x + n/x) / 2 # quadratic convergence 
    return +x # round in a global context


decimal.getcontext().prec = 80 # desirable precision
r = sqrt(12345)
print r
print r == decimal.Decimal(12345).sqrt()

出力:

111.10805551354051124500443874307524148991137745969772997648567316178259031751676
True
9
jfs

整数平方根 に関する素晴らしい記事を見つけました。

これは、そこに提示されているわずかに改善されたバージョンです。

unsigned long sqrt(unsigned long a){
    int i;
    unsigned long rem = 0;
    unsigned long root = 0;
    for (i = 0; i < 16; i++){
        root <<= 1;
        rem = (rem << 2) | (a >> 30);
        a <<= 2;
        if(root < rem){
            root++;
            rem -= root;
            root++;
        }
    }
    return root >> 1;
}
6
Egon

これは、Facebookなどからよく聞かれるインタビューの質問です。インタビューでニュートンの方法を使用するのは良い考えだとは思いません。インタビュアーが、あなたがそれを本当に理解していないときにニュートンの方法のメカニズムを尋ねたらどうなるでしょうか?

Javaでバイナリ検索ベースのソリューションを提供しましたが、誰もが理解できると思います。

public int sqrt(int x) {

    if(x < 0) return -1;
    if(x == 0 || x == 1) return x;

    int lowerbound = 1;
    int upperbound = x;
    int root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;

    while(root > x/root || root+1 <= x/(root+1)){
        if(root > x/root){
            upperbound = root;
        } else {
            lowerbound = root;
        }
        root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
    }
    return root;
}

ここで私のコードをテストできます: leetcode:sqrt(x)

6
ChuanRocks

三角法を使用して平方根を取得する方法を次に示します。ロングショットによる最速のアルゴリズムではありませんが、正確です。コードはjavascriptにあります:

var n = 5; //number to get the square root of
var icr = ((n+1)/2); //intersecting circle radius
var sqrt = Math.cos(Math.asin((icr-1)/icr))*icr; //square root of n
alert(sqrt);
4
squarcle

学校で学んだアルゴリズムがあり、これを使用して正確な平方根を計算できます(または、根が無理数の場合は任意の精度)。ニュートンのアルゴリズムよりも明らかに遅いですが、正確です。 531.3025の平方根を計算するとします

最初に、小数点から始まる数字を2桁のグループに分割します。
{5} {31}。{30} {25}
その後:
1)最初のグループの実際の平方根以下である最初のグループの最も近い平方根を見つけます:sqrt({5})> =2。この平方根は最終回答の最初の数字です。最終平方根のBとして既に見つかっている数字を示しましょう。したがって、現時点ではB = 2です。
2)次に、{5}とB ^ 2の差を計算します:5-4 = 1。
3)後続のすべての2桁のグループについて、以下を実行します。
残りを100倍し、2番目のグループに追加します:100 + 31 = 131。
Xを見つける-ルートの次の桁。131> =((B * 20)+ X)* Xなど。 X =3。43* 3 = 129 <131。B=23。また、小数点の左側に2桁のグループがないため、最終ルートのすべての整数桁が見つかりました。
4){30}と{25}についても同じことを繰り返します。だからあなたが持っています:
{30}:131-129 = 2. 2 * 100 + 30 = 230> =(23 * 2 * 10 + X)* X-> X = 0-> B = 23.0
{25}:230-0 = 230. 230 * 100 + 25 =23025。23025> =(230 * 2 * 10 + X)* X-> X = 5-> B = 23.05
最終結果= 23.05。
アルゴリズムはこのように複雑に見えますが、学校で勉強した「長い除算」に使用するのと同じ表記法を使用して紙上で行うと、除算を行わずに計算することを除いてはるかに簡単です平方根。

4
Eugen
// Fastest way I found, an (extreme) C# unrolled version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/isqrt.c.txt         (isqrt4)

// It's quite a lot of code, basically a binary search (the "if" statements)
// followed by an unrolled loop (the labels).
// Most important: it's fast, twice as fast as "Math.Sqrt".
// On my pc: Math.Sqrt ~35 ns, sqrt <16 ns (mean <14 ns)

private static uint sqrt(uint x)
{
    uint y, z;
    if (x < 1u << 16)
    {
        if (x < 1u << 08)
        {
            if (x < 1u << 04) return x < 1u << 02 ? x + 3u >> 2 : x + 15u >> 3;
            else
            {
                if (x < 1u << 06)
                { y = 1u << 03; x -= 1u << 04; if (x >= 5u << 02) { x -= 5u << 02; y |= 1u << 02; } goto L0; }
                else
                { y = 1u << 05; x -= 1u << 06; if (x >= 5u << 04) { x -= 5u << 04; y |= 1u << 04; } goto L1; }
            }
        }
        else                                             // slower (on my pc): .... y = 3u << 04; } goto L1; }
        {
            if (x < 1u << 12)
            {
                if (x < 1u << 10)
                { y = 1u << 07; x -= 1u << 08; if (x >= 5u << 06) { x -= 5u << 06; y |= 1u << 06; } goto L2; }
                else
                { y = 1u << 09; x -= 1u << 10; if (x >= 5u << 08) { x -= 5u << 08; y |= 1u << 08; } goto L3; }
            }
            else
            {
                if (x < 1u << 14)
                { y = 1u << 11; x -= 1u << 12; if (x >= 5u << 10) { x -= 5u << 10; y |= 1u << 10; } goto L4; }
                else
                { y = 1u << 13; x -= 1u << 14; if (x >= 5u << 12) { x -= 5u << 12; y |= 1u << 12; } goto L5; }
            }
        }
    }
    else
    {
        if (x < 1u << 24)
        {
            if (x < 1u << 20)
            {
                if (x < 1u << 18)
                { y = 1u << 15; x -= 1u << 16; if (x >= 5u << 14) { x -= 5u << 14; y |= 1u << 14; } goto L6; }
                else
                { y = 1u << 17; x -= 1u << 18; if (x >= 5u << 16) { x -= 5u << 16; y |= 1u << 16; } goto L7; }
            }
            else
            {
                if (x < 1u << 22)
                { y = 1u << 19; x -= 1u << 20; if (x >= 5u << 18) { x -= 5u << 18; y |= 1u << 18; } goto L8; }
                else
                { y = 1u << 21; x -= 1u << 22; if (x >= 5u << 20) { x -= 5u << 20; y |= 1u << 20; } goto L9; }
            }
        }
        else
        {
            if (x < 1u << 28)
            {
                if (x < 1u << 26)
                { y = 1u << 23; x -= 1u << 24; if (x >= 5u << 22) { x -= 5u << 22; y |= 1u << 22; } goto La; }
                else
                { y = 1u << 25; x -= 1u << 26; if (x >= 5u << 24) { x -= 5u << 24; y |= 1u << 24; } goto Lb; }
            }
            else
            {
                if (x < 1u << 30)
                { y = 1u << 27; x -= 1u << 28; if (x >= 5u << 26) { x -= 5u << 26; y |= 1u << 26; } goto Lc; }
                else
                { y = 1u << 29; x -= 1u << 30; if (x >= 5u << 28) { x -= 5u << 28; y |= 1u << 28; } }
            }
        }
    }
    z = y | 1u << 26; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 26; }
Lc: z = y | 1u << 24; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 24; }
Lb: z = y | 1u << 22; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 22; }
La: z = y | 1u << 20; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 20; }
L9: z = y | 1u << 18; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 18; }
L8: z = y | 1u << 16; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 16; }
L7: z = y | 1u << 14; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 14; }
L6: z = y | 1u << 12; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 12; }
L5: z = y | 1u << 10; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 10; }
L4: z = y | 1u << 08; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 08; }
L3: z = y | 1u << 06; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 06; }
L2: z = y | 1u << 04; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 04; }
L1: z = y | 1u << 02; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 02; }
L0: return x > y ? y / 2 | 1u : y / 2;
}
3
P_P

最初に思い浮かぶのは、これがバイナリ検索を使用するのに適した場所であることです(この素晴らしい tutorials に触発されました)。

vauleの平方根を見つけるために、(1..value)numberを検索します。ここで、予測子が初めて真になります。選択する予測子はnumber * number - value > 0.00001です。

double square_root_of(double value)
{
     assert(value >= 1);
     double lo = 1.0;
     double hi = value;

     while( hi - lo > 0.00001)
     {
          double mid = lo + (hi - lo) / 2 ;
          std::cout << lo << "," << hi << "," << mid << std::endl;
          if( mid * mid - value > 0.00001)    //this is the predictors we are using 
          {
              hi = mid;
          } else {
              lo = mid;
          }

     }

    return lo;
 }
3
pierrotlefou

バイナリ検索を使用する

public class FindSqrt {

    public static void main(String[] strings) {

        int num = 10000;
        System.out.println(sqrt(num, 0, num));
    }

    private static int sqrt(int num, int min, int max) {
        int middle = (min + max) / 2;
        int x = middle * middle;
        if (x == num) {
            return middle;
        } else if (x < num) {
            return sqrt(num, middle, max);
        } else {
            return sqrt(num, min, middle);
        }
    }
}
2
Dheeraj Sachan

名前が示すように、逆もありますが、「十分に近い」ことは「十分に近い」こともあります。とにかく面白い読み物。

Quake3の高速InvSqrt()の起源

1
user166390

一般に、整数の平方根(2など)はonlyに近似できます(浮動小数点演算の問題ではなく、正確に計算できない無理数であるため) )。

もちろん、いくつかの近似は他の近似よりも優れています。もちろん、値1.732は1.7よりも3の平方根のより良い近似であることを意味します

指定したリンクでコードが使用する方法は、最初の近似値を取得し、それを使用してbetter近似値を計算します。

これはニュートン法と呼ばれ、新しい近似ごとに計算を繰り返すことができますntilそれは十分正確です。

実際、must繰り返しをいつ停止するかを決定する何らかの方法があると、繰り返しを永久に実行します。

通常、近似値の差がより小さい決定した値である場合に停止します。

編集:あなたがすでに見つけた2つよりも簡単な実装があるとは思わない。

1
pavium

バイナリ検索を使用して、フロート平方根と任意の精度を処理できるシンプルなソリューション

rubyでコーディング

include Math

def sqroot_precision num, precision
  upper   = num
  lower   = 0
  middle  = (upper + lower)/2.0

  while true do
    diff = middle**2 - num

    return middle if diff.abs <= precision

    if diff > 0
      upper = middle
    else diff < 0
      lower = middle
    end

    middle = (upper + lower)/2.0
  end 
end

puts sqroot_precision 232.3, 0.0000000001
0
Chihung Yu

すでにかなりの数の答えがありますが、ここに私の答えがあります。これは最も簡単なコードです(私にとって)。ここに アルゴリズム があります。

python 2.7のコード:

from __future__ import division 
val = 81
x = 10
def sqr(data,x):
    temp = x - ( (x**2 - data)/(2*x))
    if temp == x:
        print temp
        return
    else:
        x = temp
        return sqr(data,x)
    #x =temp 
    #sqr(data,x)
sqr(val,x)
0
hubatrix

2の平方根を見つけようとしており、推定値が1.5であるとします。 a = 2、x = 1.5と言います。より良い推定値を計算するために、aをxで除算します。これにより、新しい値y = 1.333333が得られます。ただし、これを次の推定値とすることはできません(なぜですか?)。以前の推定値で平均化する必要があります。したがって、次の推定値xxは(x + y)/ 2または1.416666になります。

Double squareRoot(Double a, Double epsilon) {
    Double x = 0d;
    Double y = a;
    Double xx = 0d;

    // Make sure both x and y != 0.
    while ((x != 0d || y != 0d) && y - x > epsilon) {
        xx = (x + y) / 2;

        if (xx * xx >= a) {
            y = xx;
        } else {
            x = xx;
        }
    }

    return xx;
}

Epsilonは、近似の精度を決定します。関数は、abs(x * x-a)<epsilonを満たす最初の近似値xを返す必要があります。ここで、abs(x)はxの絶対値です。

square_root(2, 1e-6)
Output: 1.4142141342163086
0
S_R